Sistemi di riferimento e angoli
Prima di scrivere una sola formula bisogna decidere da dove si guarda: dal suolo o dall'aereo.
Due punti di vista
Un aereo si sposta rispetto alla Terra, ma le forze che lo sostengono nascono sull'aereo stesso: la portanza è perpendicolare alle ali, la spinta è lungo l'asse dell'elica. Conviene quindi usare due sistemi di riferimento e passare dall'uno all'altro:
- Assi terra (fissi): servono per la posizione, la quota, la rotta, il peso (sempre verso il basso).
- Assi corpo (solidali con l'aereo, con l'origine nel baricentro): servono per le forze aerodinamiche, la spinta, i momenti d'inerzia, le velocità di rotazione.
Gli assi terra seguono la stessa idea: x verso est, y verso l'alto, z verso sud (quindi il nord è dalla parte di z negativo). Una rotta (prua) \(\psi\) misurata in gradi dalla bussola, da nord in senso orario, corrisponde al vettore orizzontale
$$\hat{d}(\psi)=\left(\sin\psi,\;0,\;-\cos\psi\right).$$Verifica: per \(\psi=90^\circ\) (est) si ottiene \((1,0,0)\), cioè l'asse x; per \(\psi=0^\circ\) (nord) \((0,0,-1)\).
Nei libri di meccanica del volo si usano quasi sempre altri assi corpo: x avanti, y a destra, z in basso. Le velocità di rotazione si chiamano allora \(p\) (rollio), \(q\) (beccheggio), \(r\) (imbardata). Passare da una convenzione all'altra è un buon esercizio di attenzione: nel simulatore
$$p=-\omega_z,\qquad q=\omega_x,\qquad r=-\omega_y,$$dove \(\vec\omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)\) è la velocità angolare negli assi three.js. I coefficienti aerodinamici (capitoli 3 e 6) sono scritti nella convenzione dei libri, così si possono confrontare con le tabelle pubblicate.
Gli angoli dell'assetto
L'orientamento dell'aereo rispetto al suolo si descrive con tre angoli (gli angoli di Eulero), applicati in quest'ordine:
| Angolo | Simbolo | Che cosa misura | Strumento |
|---|---|---|---|
| Prua (imbardata) | \(\psi\) | direzione del muso rispetto al nord | bussola, indicatore di prua |
| Beccheggio | \(\theta\) | muso sopra o sotto l'orizzonte | orizzonte artificiale |
| Rollio (inclinazione) | \(\varphi\) | ali inclinate a destra o a sinistra | orizzonte artificiale |
Gli angoli di Eulero sono comodi da leggere, ma hanno un difetto grave: con il muso esattamente in verticale (\(\theta=\pm90^\circ\)) prua e rollio diventano la stessa rotazione e le formule si bloccano (gimbal lock). Per questo il simulatore tiene l'orientamento in un quaternione e calcola gli angoli solo per mostrarli sugli strumenti (vedi il capitolo 7).
Il vento relativo: angolo d'attacco e di derapata
Per l'aerodinamica non conta come l'aereo si muove rispetto al suolo, ma rispetto all'aria. Se \(\vec v\) è la velocità dell'aereo e \(\vec w\) quella del vento, la velocità dell'aria che l'aereo "sente" è \(\vec v_a=\vec v-\vec w\). Portata negli assi corpo, \(\vec v_a=(v_x,v_y,v_z)\), definisce due angoli fondamentali:
\(\alpha\) (alfa) è l'angolo fra la direzione dell'aria e l'asse longitudinale, nel piano verticale dell'aereo: da lui dipende la portanza. \(\beta\) (beta) è l'angolo laterale: un aereo "in derapata" riceve l'aria un po' di fianco (la pallina dello strumento non è al centro).
Tre angoli si confondono spesso, ma sono diversi: l'assetto \(\theta\) (dove punta il muso), la pendenza della traiettoria \(\gamma\) (dove va l'aereo) e l'angolo d'attacco \(\alpha\). Con le ali livellate e senza vento
$$\theta=\gamma+\alpha.$$Un aereo può avere il muso alto e scendere lo stesso: succede in atterraggio, quando vola lento con un grande angolo d'attacco.
Dagli assi corpo agli assi terra
Un vettore scritto negli assi corpo (per esempio la portanza) si porta negli assi terra con una rotazione: \(\vec F_{terra}=R\,\vec F_{corpo}\), dove \(R\) è una matrice 3×3 ortogonale (\(R^{-1}=R^{T}\)). Per una sola rotazione attorno all'asse verticale di un angolo \(\psi\):
$$R_y(\psi)=\begin{pmatrix}\cos\psi&0&\sin\psi\\0&1&0\\-\sin\psi&0&\cos\psi\end{pmatrix}$$La rotazione completa è il prodotto delle tre rotazioni elementari (prua, beccheggio, rollio). Nel programma questo lavoro lo fa il quaternione: F.applyQuaternion(q) porta un vettore dagli assi corpo agli assi terra, e con il quaternione inverso si fa il percorso opposto.
In js/fisica.js, righe 83–92: il vento relativo viene portato negli assi corpo con il quaternione inverso, poi si calcolano \(V\), \(\alpha\), \(\beta\) e i ratei \(p,q,r\):
invQ.copy(st.q).invert();
air.copy(st.vel).sub(vento);
vb.copy(air).applyQuaternion(invQ); // vento relativo in assi corpo
const V=vb.length();
const u=-vb.z;
const alpha=V>0.5?Math.atan2(-vb.y,u):0;
const beta=V>0.5?Math.asin(clamp(vb.x/V,-1,1)):0;
const p=-st.w.z, q=st.w.x, r=-st.w.y; // rollio, beccheggio, imbardata- Un aereo vola verso sud-ovest (\(\psi=225^\circ\)). Scrivi il vettore \(\hat d(\psi)\).
- In avvicinamento l'aereo scende con \(\gamma=-3^\circ\) e ha il muso \(2^\circ\) sopra l'orizzonte. Qual è l'angolo d'attacco?
- Negli assi corpo l'aria arriva con \(\vec v_a=(0;\,-4{,}2;\,-50)\) m/s. Calcola \(V\) e \(\alpha\).
Soluzioni
- \(\hat d=(\sin225^\circ,0,-\cos225^\circ)=(-0{,}707;\;0;\;0{,}707)\): verso ovest (x negativo) e verso sud (z positivo).
- \(\alpha=\theta-\gamma=2^\circ-(-3^\circ)=5^\circ\).
- \(V=\sqrt{4{,}2^2+50^2}\approx50{,}2\) m/s; \(u=50\), \(\alpha=\operatorname{atan2}(4{,}2;\,50)\approx4{,}8^\circ\).